Mudança de base de Logaritmos

Por Thiago Trigo

Em muitos casos na resolução de operações envolvendo logaritmos, é viável e se faz necessário a utilização de técnicas capazes de nos fornecer de forma precisa e direta o conjunto solução de uma questão, uma dessas “técnicas” é conhecido como mudança de base de um logaritmo, na qual veremos a seguir. Vejamos:

Observe que inicialmente temos um logaritmo qualquer representado por uma base “b” e o logaritmando “a” , fazendo a mudança de base , vamos transformar esse logaritmo em um quociente de um logaritmo formado por um base “c” .Podemos perceber que tanto “a” quanto “b” passam a ser o logaritmando formado pela base “c”.
Para facilitar o entendimento da mudança de base, iremos aqui resolver alguns exercícios. Lembrando sempre que para que um logaritmo exista, sua base tem que ser maior que 0 e diferente de 1 (b>0 e b=/=1) e também é importante lembrar que seu logaritmando tem que ser maior que 0(a>0).
1) Calcule pela mudança de base o valor de  Log₄64 .
Podemos escrever que;
Log₄64 = log₂ 64 / log₂ 4
Calculando separadamente, temos;
Log₂64 = 2^x = 2⁶; x=6
Log ₂4 = 2^x = 2²;  x=2
Portanto, x =6/2 = 3
Para provarmos essa técnica poderíamos conferir a resposta pela definição do logaritmo, sendo 64 um múltiplo de 4, sua forma fatorada é   64= 4³
Portanto  Log₄64 = x  ;  4^x=4³, x=3
2) Sabendo-se que log₁₀ 2 =0,301  e log₁₀ 3=0,477 , pede-se. Calcule o valor de  Log₉512
Podemos escrever que;
Log₉512= log₁₀512/log₁₀9
Calculando separadamente, temos;
Log ₁₀512= Log ₁₀2⁹= 9 x log₁₀2 =9×0, 301=2,709
Log₁₀9= Log₁₀3²= 2xlog₁₀3=2×0, 477=0, 954
Reescrevendo (Efetuando o quociente);
Log₉512= 2,709/0,954 =2,839(Resultado aproximado).
Referência Bibliográfica:
Luiz Roberto Dante – Matématica-Contexto e Aplicações-Volume Único